Skip to content

Verbazing

13 mei 2017

Wetenschap begint met verbazing, vaak gaat het om het stellen van vragen bij verschijnselen die anderen als vanzelfsprekend beschouwen. Wiskunde is een wetenschap, dus wiskunde begint met verbazing. Verbazing is de emotie die je voelt bij het onverwachte. Het onverwachte is dat wat niet logisch voortvloeit uit het voorgaande. Wiskunde is logica. Wiskunde kan dus geen verbazing opwekken. Het is de verbazing over wiskunde die mij verbaast.

 

Als voorbeeld van verbazing over wiskunde neem ik mijn eigen stukje over de formule van Euler. Deze gaat over ruimtelijke figuren die we veelvlakken noemen. Het is een formule voor het aantal punten, lijnen en vlakken van veelvlakken: v – e + f = 2 . Vertices – edges + faces = 2 . Een eenvoudige formule die altijd geldt! Als je niets van wiskunde weet, ben je misschien verbaasd dat de formule voor alle veelvlakken geldt, hoe ingewikkeld je je figuur ook maakt. Als je vertrouwd bent met wiskunde, dan kijk je daar niet meer van op. Dat zegt op zich al iets over het mechanisme achter verbazing. Als je logisch redeneert, dan kom je tot dezelfde conclusie als Euler. Het feit dat twee logisch redenerende wezens tot dezelfde conclusie komen, is al niet verbazend; de conclusie zelf is ook niet verbazend, want die is logisch. In je hoofd heb je kennis van een hogere orde die voorspellingen doet. Deze hogere-ordevoorspellingen zijn soms juist en soms onjuist. Als een hogere-ordevoorspelling onjuist is, ben je verbaasd.

Ik vroeg mij in dat stuk af: “Waar komt dat rare getal 2 vandaan?” Alleen die vraag al was veelzeggend. In mijn wiskundige intuïtie is 2 een raar getal. Nul en één zijn getallen die ik verwacht, 2 verbaast mij. Meteen ging mijn hogere-ordekennis met mij op de loop. Vragen kwamen in mij op om het getal 2 te verklaren. Veelvlakken zijn driedimensionale figuren. Zou dat rare getal te verklaren zijn uit het aantal dimensies? 2 = 3 – 1 . Zou je bij 4D-figuren op het getal 3 uitkomen? Ik schreef: “Het was niet eens zozeer de schoonheid die mij raakte, maar ik was meteen nieuwsgierig naar de schoonheid die hierachter moest schuilen, als je de formule zou veralgemeniseren.” Ook deze regels waren veelzeggend over het mechanisme achter verbazing. Schoonheid heeft ook te maken met het onverwachte, verbaasd dat het zo mooi in elkaar zit. De schoonheid van de formule zelf vond ik nog tamelijk alledaags, vanwege mijn vertrouwdheid met de wiskunde. Ik was benieuwd naar het onbekende, de schoonheid die hierachter moest schuilen, dus de logica die mijn hogere-ordekennis niet kon voorspellen.

Het bleek mij dat de uitkomst van de formule niet hoger werd bij hogere dimensies, maar dat ik bij steeds hogere dimensies (4D, 5D en verder) afwisselend de uitkomst 0 en 2 kreeg. Dat verbaasde mij, maar het was wel te verklaren. In tabelvorm beschreef ik het aantal punten, lijnen, vlakken enzovoort van vierkanten, kubussen en de meerdimensionale verwanten daarvan. De tabel begon met nul dimensies, het nul-dimensionale figuur bevatte 1 punt en dat was in mijn visie een soort wiskundige oerknal. Dit nul-dimensionale oerfiguur verklaarde de formule van Euler voor kubussen en de verwante figuren daarvan in minder of meer dimensies. Daarmee was nog niet verklaard waarom de formule ook voor andere figuren dan kubussen geldt. Het is kenmerkend dat je als mens op zoek gaat naar vergelijkingsmateriaal en naar patronen die een intuïtieve verklaring vormen, die niet hetzelfde is als het wiskundige bewijs.

Het voorbeeld van Euler kan model staan voor hoe mensen omgaan met wiskunde en hoe mensen wiskunde beleven. Mensen hebben een intuïtie die hen bepaalde voorspellingen over wiskundige verbanden aan de hand doet. Deze voorspellingen leiden tot verbazing als ze onjuist blijken te zijn. Ik noemde die intuïtie hogere-ordekennis, omdat men met die kennis als het ware van een grote hoogte naar verschijnselen kijkt, zonder de details na te gaan. Die intuïtie is te vormen door ervaring, wellicht wordt die intuïtie volledig bepaald door de ervaring. Als mensen logisch zouden denken, dan zouden ze redeneren als de wiskunde zelf en dan zouden ze over wiskundige uitkomsten niet verbaasd kunnen zijn. Kennelijk denken mensen niet logisch, ze denken onvolledig. Zonder die onvolledigheid geen verbazing en ook geen beleving van schoonheid in de wiskunde. Waarom zou je 1 + 1 = 2 mooi vinden? Vertices – edges + faces = 2, dat is pas mooi. Zonder verbazing geen mooie resultaten, dat wil zeggen zonder het mechanisme achter verbazing zouden we geen enkel resultaat mooi vinden. (Er zitten in de klas altijd een paar leerlingen die echt geen enkel resultaat mooi vinden. Die leerlingen hebben geen enkele intuïtie, kunnen dus alles verwachten en zijn dus nergens verbaasd over.) En zonder die schoonheidsbeleving zou niemand de motivatie hebben om naar die mooie resultaten te zoeken (denk maar aan die leerlingen). Een alien die rationeel is – een geliefd thema in sciencefiction-films – heeft geen motivatie. En daarmee is de cirkel rond, in mijn onvolledigheid verbaasde ik mij over verbazing in de wiskunde. Die verbazing motiveerde mij tot het vinden van een verklaring. De verbazing die wiskunde kan opwekken, zegt niet zoveel over de wiskunde, maar zegt alles over ons.

Advertenties

From → Wetenschap

Geef een reactie

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit / Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit / Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit / Bijwerken )

Google+ photo

Je reageert onder je Google+ account. Log uit / Bijwerken )

Verbinden met %s

%d bloggers liken dit: