Skip to content
Tags

,

Rekenen aan Euler

29 maart 2015

De formule van Euler raakte mij. Professor Lenstra presenteerde in De Wereld Draait Door (woensdag 18 maart 2015) de formule voor het aantal punten, lijnen en vlakken van veelvlakken: v – e + f = 2 . Vertices – edges + faces = 2 . Een eenvoudige formule die altijd geldt! Ik vroeg me af of er ook zo’n formule zou bestaan voor vierdimensionale lichamen. En waar komt dat rare getal 2 vandaan? Zou dat iets te maken hebben met het aantal dimensies? Het was niet eens zozeer de schoonheid die mij raakte, maar ik was meteen nieuwsgierig naar de schoonheid die hierachter moest schuilen, als je de formule zou veralgemeniseren.

Eerst een paar voorbeelden. Een kubus heeft 8 hoekpunten (vertices), 12 ribben (edges) en 6 zijvlakken (faces). 8 – 12 + 6 = 2 . Een pyramide heeft 5 hoekpunten, 8 ribben en 5 vlakken (je moet de bodem ook meetellen). 5 – 8 + 5 = 2 . Een driehoekige pyramide bestaat uit 4 driehoeken, het is de tetraëder. 4 – 6 + 4 = 2 . Een kerktoren is ook leuk, die bestaat uit een verticale balk met daarop een pyramide. Je kunt niet de punten en ribben van een kubus en een pyramide optellen, want de bovenste 4 punten van de kubus vallen samen met de 4 punten van de pyramide. Net als 4 ribben en 1 vlak. De kerktoren heeft 9 punten, 16 ribben en 9 vlakken. 9 – 16 + 9 = 2 .

Nu naar de vierdimensionale ruimte (4D). Een kubus is de 3D-variant van een vierkant. Een vierkant is 2D. Je maakt een kubus door op iedere zijlijn een nieuw vierkant te plaatsen, loodrecht op de oorspronkelijke twee dimensies. Je hebt dan een doos. De ribben van deze vierkanten spannen vanzelf het bovenste vierkant op, het deksel zeg maar. Het aantal hoekpunten wordt twee keer zo groot. Op ieder oorspronkelijk hoekpunt wordt een nieuwe ribbe opgericht en op de uiteinden daarvan komen ook vier ribben. Het nieuwe aantal ribben is dus gelijk aan tweemaal het aantal zijden van het oorspronkelijke vierkant (vierkant onder, vierkant boven) plus het oorspronkelijk aantal punten (de vier verticale ribben). In mijn scriptie, Naar een begrip van 4D-figuren, heb ik beschreven hoe dat verder verloopt voor hogere dimensies.

TABEL 1

Aantal dimensies 0 1 2 3 4 5
  Object Vertices Edges Faces Cels    
0 Punt 1
1 Lijnstuk 2 1
2 Vierkant 4 4 1
3 Kubus 8 12 6 1
4 Hyperkubus 16 32 24 8 1
5 ? 32 80 80 50 10 1

 

Als ik voor een hyperkubus eens het aantal elementen afwisselend optel en aftrek, dan kom ik op 16 – 32 + 24 – 8 = 0 . Voor een 5D-object komt de telling weer op 2. Je moet natuurlijk het object zelf ook meetellen!

Lijnstuk: 2 – 1 = 1 .
Vierkant: 4 – 4 + 1 = 1 .
Kubus: 8 – 12 + 6 – 1 = 1 .
Hyperkubus: 16 – 32 + 24 – 8 + 1 = 1.

Het aantal elementen in tabel 1 is steeds gelijk aan tweemaal het getal dat erboven staat plus het getal linksboven.

Voor een kubus geldt:
v = 2 × 4 ;
e = 4 + 2 × 4 ;
f = 4 + 2 × 1 ;
c = 1 + 2 × 0 .

Het wordt nu ook duidelijk waarom de wet van Euler geldt. Als je de waarden uitdrukt als functie van de regel erboven, en die weer als functie van daarboven, dan kom je uiteindelijk bij het object punt (nul dimensies) uit. En daar komt dus dat getal 1 aan de rechterkant van de vergelijking vandaan. Een soort van wiskundige oerknal. Laat ik de elementen aangeven als e met cijfers voor de dimensies. e30 (spreek uit e drie-nul) is het aantal punten van een 3D-object. Dus:

e30 – e31 + e32 – e33 = 1

Algemeen voor n dimensies:

en0 – en1 + en2 – en3 … enn = 1

Of als je het leuk vindt om de alternering aan te geven als (-1)k:

Σ (-1)^k . e[n,k] = 1

Bovenstaande ging over vierkanten en de meerdimensionale varianten daarvan. Zou de formule van Euler ook gelden voor andere 4D-objecten? Voor andere 3D-objecten geldt hij wel. Laat ik eens proberen om nog een 4D-figuur te verzinnen. Dat is lastig, omdat je je geen vier dimensies kunt voorstellen. Ik ga iets doen met driehoeken. Ik begin met een lijnstuk (1D) en construeer dan een gelijkzijdige driehoek. De coördinaten van de hoekpunten zijn (0, 0), (1, 0), (½, ½√3). Dan voeg ik de derde dimensie toe. Ik maak weer één nieuw punt en verbind dat met de bestaande hoekpunten. Dan krijg ik een tetraëder. Nu voeg ik de vierde dimensie toe. Ik maak één nieuw punt en verbind dat met de bestaande hoekpunten. Een projectie hiervan zie je in figuur 1. Deze 4D-figuur heeft 5 hoekpunten, 10 ribben, 10 vlakken (tel het aantal driehoeken in deze figuur) en 5 cellen. (Een cel is een 3D-object.)

FIGUUR 1

Figuur 1. De projectie van een 4D-figuur bestaande uit 5 tetraëders

 

TABEL 2

Aantal dimensies 0 1 2 3 4
  Object Vertices Edges Faces Cels  
0 Punt 1
1 Lijnstuk 2 1
2 Driehoek 3 3 1
3 Tetraëder 4 6 4 1
4 ? 5 10 10 5 1

 

Hier geldt dat het aantal elementen eij gelijk is aan het getal dat erboven staat plus het getal linksboven: eij = ei-1 j-1 + ei-1 j . En ook hier geldt de formule van Euler voor 4D:

e40 – e41 + e42 – e43 + e44 =
5 – 10 + 10 – 5 + 1 = 1

Zou het voor alle 4D-, 5D-, enzovoort-objecten gelden? Als je even op internet zoekt, dan vind je dat daarvoor inderdaad het bewijs geleverd is.

 

Voor een 2D-figuur is het triviaal. Het aantal punten is gelijk aan het aantal lijnstukken, dus voor bijvoorbeeld een onregelmatige zevenhoek geldt: 7 – 7 + 1 = 1 .

Als ik een aantal 2D-figuren aan elkaar plak, dan geldt voor het totaal weer de formule van Euler. Kijk maar. Als ik twee 2D-figuren laat aansluiten dan delen ze een lijnstuk en twee punten. Plak ik twee vierkanten aan elkaar, dan krijg ik de situatie zoals beschreven in tabel 3. Ze delen 2 punten en 1 lijn, deze staan vermeld op regel D. Het aantal punten, lijnen en vlakken van het eerste vierkant, object A, zijn de getallen van de regels A en D opgeteld. Voor object B zijn dat de regels D en B.

TABEL 3

Dimensies 0 1 2
  Object Vertices Edges Faces
A Object A a0 = 2 a1 = 3 a2 = 1
D Gedeeld d0 = 2 d1 = 1 d2 = 0
B Object B b0 = 2 b1 = 3 b2 = 1

 

Volgens Euler geldt voor object A, dat de regels A en D samen 1 opleveren (met de juiste min-tekens natuurlijk).
        A + D : (a0 + d0) – (a1 + d1) + (a2 + d2) = 1 .
Voor object B nemen we de regels B en D.
        B + D : (b0 + d0) – (b1 + d1) + (b2 + d2) = 1 .
Tellen we deze twee vergelijkingen bij elkaar op, dan krijgen we
        A + 2 D + B : (a0 + 2 d0 + b0) – (a1 + 2 d1 + b1) + (a2 + 2 d2 + b2) = 2 .

De regel D wordt dus twee keer geteld. D beschrijft een 1D-object (d2 = 0) dat de grens is tussen de twee objecten. Voor dit object geldt:
        D : d0 + d1 + d2 = 1

Trek ik deze vergelijking af van A + 2 D + B , dan vind ik:

A + 2 D + B = 2
     D        = 1
                               – 

A +   D + B = 1

Dit beschrijft dat de formule van Euler geldt voor objecten die aan elkaar geplakt zijn. Het leuke is dat dit ook geldt als je een derde object zo vastmaakt, dat het grenst aan twee andere objecten. Bijvoorbeeld een derde vierkant, dat met de andere twee in een drie-dimensionale ruimte een hoek vormt. Voor het oorspronkelijke complex gold de formule. De grens bestaat uit een aantal 2D-objecten die kop-staart aan elkaar liggen. Voor deze ketting geldt de formule en je krijgt dus weer een tabel met rijen A, D, B; waarvoor geldt: A + 2 D + B = 2 ; D = 1 ; enzovoort.

De formule geldt niet meer als je een object aan twee randen plakt die niet met elkaar verbonden zijn. Als je bijvoorbeeld van drie vierkanten een kokertje maakt, dan geldt de formule niet. Je moet dus zorgen dat het aan te plakken object steeds goed aansluit. Er vallen nooit gaten in de constructie. Uiteindelijk krijg je een soort doosje met nog één gat, dat je met een laatste vlak afsluit. Dan gebeurt er iets anders, want de gedeelde randen van deze laatste vormen een aaneengesloten ketting en daarvoor geldt de formule niet. Als ik vijf lijnstukken in een rondje leg, dan heb ik 5 punten en 5 lijnstukken. 5 – 5 = 0 . En dus vind ik voor het nieuwe object:
A + D + B = 2 . Maar door het plaatsen van het laatste dekseltje wordt het complex van vlakjes een gesloten 3D-object. En met deze inhoud (cel) meegerekend klopt het weer!

De formule geldt dus ook niet voor objecten die je niet op deze manier kunt construeren. Objecten met een gat er in, zoals een schilderijlijst, krijg je nooit op deze manier aan elkaar gepast.

Nog even over het kokertje. Object A bestaat uit twee vlakjes die al aan elkaar zitten: 6 punten, 7 lijnen, 2 vlakken. P is de ene grens, Q de andere. Object A wordt dus beschreven door de regels A-P-Q. Aantal punten van A = a0 + p0 + q0 . Aantal lijnen van A = a1 + p1 + q1 . Enzovoort. Object B bestaat uit b0 + p0 + q0 = 4 punten, 2 lijnen en 1 vlak.

TABEL 4

Dimensies 0 1 2
  Object Vertices Edges Faces
A Object A a0 = 2 a1 = 5 a2 = 2
P Gedeeld p0 = 2 p1 = 1 p2 = 0
B Object B B0 = 0 b1 = 2 b2 = 1
Q Gedeeld q0 = 2 q1 = 1 q2 = 0

 

Voor een aaneengesloten ketting van 2D-objecten geldt dus:

A + P + Q = 1 (Object A)
B + P + Q = 1 (Ojbect B)
P        = 1
Q       = 1

Hieruit volgt:

A + B + 2 P + 2 Q = 2

En:

A + B + P + Q = 0

Merk op dat deze regels voor hogere dimensies dezelfde wetmatigheid beschrijven: voor een gesloten lus van objecten levert de optelling 0 op in plaats van 1.

Voor objecten van hogere dimensies gaat het natuurlijk analoog. Een 4D-object bestaat uit een aantal aan elkaar geplakte 3D-objecten. Als ik 3D-objecten aan elkaar plak, dan bestaat de grens uit een 2D-object of uit een aantal geschakelde 2D-objecten. Voor een 2D-object geldt de formule, voor een aantal geschakelde 2D-objecten ook. Dus krijg ik weer een tabel met regels A-D-B en kom ik weer tot dezelfde conclusie. Steeds geldt voor de grens dat de optelling = 1. Het laatste 3D-deksel maakt er een gesloten 4D-object van (+1), de grens van het laatste 3D-deksel is een aaneengesloten 2D-ketting (optelling = 0). En daarmee klopt het weer. Als het voor n dimensies klopt, klopt het ook voor n + 1 dimensies. Een bewijs volgens het principe van volledige inductie. Hoewel de wiskundigen onder mijn lezers zullen vinden, dat mijn bewijsvoering wel wat onvolledig is.

Advertenties

From → Wetenschap

One Comment

Trackbacks & Pingbacks

  1. Verbazing | Reinhard Beskers

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit / Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit / Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit / Bijwerken )

Google+ photo

Je reageert onder je Google+ account. Log uit / Bijwerken )

Verbinden met %s

%d bloggers liken dit: