Skip to content

De septimalenreeks en andere snaarreeksen

12 januari 2015

De septimalenreeks is een reeks tonen die je krijgt als je een snaar afklemt op achtereenvolgens 1/7, 2/7, tot en met 6/7. Het woord snaarreeks heb ik zelf verzonnen en het staat voor de reeks tonen die je krijgt bij andere verhoudingen, bijvoorbeeld {1/6, 2/6, …, 5/6} of {1/5, 2/5, …, 4/5}.

Als ik een snaar afklem op 1/7, dan is het resultaat een snaar een lengte van 6/7 maal de oorspronkelijke lengte. De frequentie is dan 7/6 maal de frequentie van de oorspronkelijke snaar. Vervolgens klem ik de snaar af op 2/7, de lengte wordt 5/7 en de frequentie wordt dus 7/5. De septimaalreeks is een reeks tonen met de volgende frequenties: 1 × de grondtoon, 7/6 × de grondtoon, en verder 7/5, 7/4, 7/3, 7/2 en 7/1. De hoogste is dus 7 maal de frequentie van de grondtoon en dat is precies gelijk aan een boventoon. De zeven tonen van een septimalenreeks zijn consonant met elkaar. Waar liggen deze tonen nu in de toonladder? Als ik een snaar neem die gestemd is op c, dan blijkt 7/6  iets onder de es te liggen. Om dit inzichtelijk te maken eerst iets over boventonen.

Een snaar heeft boventonen: 2 × de grondfrequentie, 3 × , 4 × , enz. Ik neem een snaar die gestemd is op c1.

Spreek uit: c één-gestreept. c1 is de centrale c op de piano. Tonen worden ingedeeld in octaafgebieden. Octaafgebied 1-gestreept loopt van de centrale c (c1) tot en met de b1. Daarboven ligt octaafgebeid 2-gestreept [c2 tot c3>, enz. Beneden de centrale c kennen we de ocaafgebieden: klein [c tot c1>, groot [C tot c>, contra [C1 tot C> en subcontra. De laagste toon op de piano is A2 (spreek uit: A-subcontra).

Tweemaal de grondfrequentie is het octaaf: c2. Viermaal de grondfrequentie is dus daar het octaaf van (is c3) en driemaal ligt daartussen: g2. Zie de volgende tabel.

TABEL 1. Boventonen

Aantal maal de grondfrequentie Toon
   
1 c1 (grondtoon)
2 c2
3 g2
4 c3
5 e3
6 g3
7 bes– 3
8 c4
enzovoort

Zevenmaal de grondfrequentie geeft een toon die niet past in onze toonladder, hij ligt iets onder de bes, ik heb hem bes (bes-min) genoemd. bes-min driegestreept om precies te zijn. In onderstaande grafiek heb ik de boventonen afgebeeld.

Grafiek 1. Boventonen

Grafiek boventonen

Onder in de grafiek staan de tonen afgebeeld van de piano. De tonen van de witte toetsen zijn afgebeeld in geel, de tonen van de zwarte toetsen in blauw. De hoogste toon op de piano is c5 (op sommige piano’s a4). De laagste toon die hier afgebeeld is, is c (c klein, één octaaf onder de centrale c). De octaafgebieden subcontra, contra en groot zijn hier niet afgebeeld,

In tweeën: c1 – c2
Als ik een snaar (c1) in tweeën deel, dan krijg ik het octaaf (c2).

In drieën: c1 – g1 – g2
Als ik een snaar (c1) afklem zodat ik 2/3 lengte overhoudt, dan krijg ik een toon met 3/2 maal de grondfrequentie. Dit is g1, de kwint. Neem ik 1/3 lengte, dan krijg ik 3/1 maal de grondfrequentie en dat is (g2).

In vieren: c1 – f1 – c2 – c3
Neem ik de lengtes 1, 3/4, 2/4, 1/4, dan krijg ik de tonenreeks met 4/4, 4/3, 4/2, 4/1 maal de grondfrequentie. 4/3 is de kwart op de grondtoon (c1 → f1).

In vijven: c1 – e1 – a1 – e2 – e3
Een frequentie van 5/4 geeft de terts (c1 → e1). Een frequentie van 5/3 geeft de sext (c1 → a1). Merk op dat de afstand tussen e1 en a1 een kwart is, net als de eerste sprong in de vieren-reeks. Dat kan ook niet anders, want als ik een snaar eerst op 4/5 lengte neem, dan heb ik een nieuwe snaar die ik vervolgens op 3/4 lengte neem. In wiskundige termen luidt dit (voor de snaarlengtes): 4/5 × 3/4 = 3/5. Voor de frequenties geldt: (grondfrequentie × 5/4) × 4/3 = grondfrequentie × 5/3.
De sprong tussen 5/3 en 5/2 is weer een kwint. Een kwart plus een kwint is een octaaf. De afstand tussen 5/4 (e1) en 5/2 (e2) is precies een octaaf, want een toon van 5/2 is precies tweemaal zo hoog als een toon van 5/4.

In zessen: c1 – es1 – g1 – c2 – g2 – g3
Nu kom ik terug op de boventonen. Als ik 5 × de frequentie van c1 neem dan zit ik ruim twee octaven hoger, op e3. e3 is de vierde boventoon van c1. Als ik 6 × de frequentie van c1 neem, dan zit ik op g3. g3 is de vijfde boventoon van c1.
Tot zover niets bijzonders, zie tabel 1. Nu een nieuw inzicht. Als ik 6/5 × de frequentie van c1 neem, dan heb ik dezelfde afstand als de afstand tussen deze twee boventonen. Deze afstand (e3 – g3) is een kleine terts. Dus 6/5 maal de frequentie van c1 geeft es1.
De afstand tussen 6/5 × de frequentie van c1 en 6/4 × de frequentie van c1 is gelijk aan de afstand tussen de boventoon met 4-maal de grondfrequentie, c3, en de boventoon met 5-maal de grondfrequentie, e3. De afstand tussen c3 en e3 is een grote terts. In de zessen-reeks hebben we eerst een kleine terts (c1 → es1) en vervolgens een grote terts (es1 → g1). De totale reeks bestaat uit 6/6, 6/5, 6/4, 6/3, 6/2, 6/1 × de grondfrequentie.
De afstand tussen 6/6 en 6/4 is een kwint, want de frequentie van de laatste is 3/2 maal de eerste. De afstand tussen 6/6 en 6/3 is een octaaf. De afstand tussen 6/4 en 6/2 is ook een octaaf. De afstand tussen 6/4 en 6/1 is twee octaven.

Septimalenreeks: c1 – es– 1 – ges– 1 – bes– 1 – es– 2 – bes– 2 – bes– 3
Dit is de reeks 7/7, 7/6, 7/5, 7/4, 7/3, 7/2, 7/1 × de grondfrequentie. De afstand tussen de grondtoon en 7/6 is gelijk aan de afstand tussen de boventoon met 6-maal de grondfrequentie en de boventoon met 7-maal de grondfrequentie. Dit zijn (zie tabel 1) g3 en bes– 3. Zoals gezegd past bes-min niet in onze toonladder. Het eerste interval van de septimalenreeks is een consonant interval, dat niet in ons toonsysteem past. (c → es-min). De derde toon in de reeks is een kleine terts hoger dan es-min en die past dus ook niet in onze toonladder. En alle overige tonen dus ook niet. Zo krijgen we een reeks van zeven tonen die onderling consonant zijn, maar die op de meeste instrumenten niet te spelen zijn. es– 2 is een zuiver octaaf van es– 1. bes– 2 is een zuiver octaaf van bes– 1. Enzovoort. bes– 3 is de boventoon met 7-maal de frequentie van c1. Het meest wonderlijke is dat zes van de zeven tonen dissoneren met het octaaf van de grondtoon.

De oneindige reeks
Je zou beter vanaf de andere kant kunnen beginnen, van bovenaf. Ik neem een snaar en vervolgens neem ik een snaar die tweemaal zolang is. Het moet een snaar zijn van hetzelfde materiaal die met dezelfde kracht gespannen is. Dan maak ik als het ware de snaar tweemaal zolang. De frequentie van de tweede toon is dan de helft van de oorspronkelijke en dat is een octaaf lager.
Toen ik wiskunde studeerde, vond ik het altijd fascinerend hoe je algemene formules kon opstellen, waarna het bestudeerde geval een specifiek geval bleek te zijn van een veel algemener verschijnsel. Zo kunnen we hier een oneindige tonenreeks van maken door met de bovenste toon (de kortste snaar) te beginnen. De hierboven besproken reeksen zijn een deelverzameling van deze oneindige reeks. We breiden de snaar steeds met dezelfde lengte uit (de oorspronkelijke lengte). Als de snaar 3 × de oorspronkelijke lengte heeft, dan is de frequentie 1/3 × de bovenste toon, dat is een octaaf plus een kwint. Zie de derden-reeks (c1 – g1 – g2). Maak ik de snaar 4 × zolang, dan wordt de frequentie 1/4 × de bovenste toon, dat is twee octaven lager. Het verschil tussen een snaar met lengte 3 en een snaar met lengte 4 is een kwart, in de vieren-reeks was dit de afstand tussen de eerste en de tweede toon.

Tabel 2. De oneindige reeks

Snaarlengte Frequentie Toonsafstand
als gedeelte van de bovenste toon tot vorige toon in de reeks
 
1 1
2 1/2 octaaf
3 1/3 kwint
4 1/4 kwart
5 1/5 grote terts
6 1/6 kleine terts
7 1/7 septimale kleine terts
8 1/8
n 1/n
nadert 0

Als je in deze tabel naar de septimalenreeks kijkt, dan is er slechts één toon die niet in de toonladder past: de laagste, 1/7 maal de frequentie van de bovenste toon. De rest past er wel in. Met de septimalenreeks leken we ons toonsysteem op mysterieuze wijze te verlaten, maar als je naar de achten-reeks kijkt, dan zijn we weer terug. 1/8 is drie octaven onder de bovenste toon en de enige toon die niet past in de toonladder is 1/7. Als mijn oorspronkelijke snaar gestemd is op c4, dan krijgen we van boven naar beneden: c4 – c3 – f2 – c2 – as1 – f1 – d+ 1 – c1 . (d-plus ligt tussen de d en de es.)
En als we uit deze reeks de eerste, derde, vijfde en zevende weglaten, dan hebben we de vierenreeks weer terug.
Mooi is dat de toonsafstanden in deze reeks het spiegelbeeld vormen van de toonsafstanden bij boventonen. Bij boventonen worden de intervallen naar boven toe steeds kleiner, bij de snaarreeksen worden de intervallen naar boven toe steeds groter. Van boven naar beneden geeft de oneindige snaarreeks precies dezelfde toonsafstanden als de reeks boventonen, die in principe ook oneindig ver doorloopt. Octaaf, kwint, enzovoort. Het eerste octaaf bevat één interval (20 = 2 tot de macht 0), een octaaf; het tweede octaaf bevat twee intervallen (21), een kwint en een kwart; het derde octaaf bevat vier intervallen (22), het vierde octaaf bevat acht intervallen (23), enzovoort. Octaaf n bevat 2n-1 intervallen.

Tot zover de schoonheid van de wiskunde. Maar wat heeft dit met muziek te maken? Eigenlijk weinig. De wiskundige analyse van tonen en intervallen is een deel van de verklaring waarom we bepaalde intervallen mooi vinden, het helpt ons te begrijpen waarom bepaalde patronen in de muziek ontstaan zijn, zoals veel voorkomende akkoorden of de indeling van het octaaf in twaalf tonen. Als je piano speelt dan zit je vast aan de indeling in 12 tonen, maar er zijn ook instrumenten waarbij dat niet het geval is, zoals viool, cello, trombone, of zangstem. Muziek is emotie, wiskunde is zuiver redeneren, het is de eliminatie van emotie. De wiskunde helpt ons daarom niet om nieuwe muzikale wegen in te slaan. Integendeel, je zou de wiskunde kunnen gebruiken om te verklaren waarom andere patronen, zoals een octaafindeling in 19, 31 of 43 tonen, in de loop der tijden niet ontstaan zijn.

Advertenties

From → Wetenschap

Geef een reactie

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit / Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit / Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit / Bijwerken )

Google+ photo

Je reageert onder je Google+ account. Log uit / Bijwerken )

Verbinden met %s

%d bloggers liken dit: